BAB I
PENDAHULUAN
Himpunan
adalah setiap daftar, kumpulan atau kelas objek-objek yang didefinisikan secara
jelas, yang mana objek-objek ini disebut elemen-elemen atau anggota-anggota dan
himpunan. Sifat keterkaitan atau yang disebut sifat himpunan yang dimaksud
adalah:
1.
Tiap objek dalam
kumpulan atau himpunan itu dapat dibedakan dari satu dengan yang lainnya.
2.
Dapat dibedakan
adakan objek yang terdapat dalam himpunan dengan yang bukan terdapat dalam
himpunan tersebut.
Pada bagian ini akan dijelaskan tentang relasi
antar himpunan dan operasi pada himpunan dimana dalam relasi antara himpunan
akan dibahas tentang (diagram Venn Euler, himpunan bagian, kesamaan himpunan,
himpunan berpotongan dan himpunan lepas) sedangkan dalam operasi pada himpunan
akan dibahas tentang (gabungan, irisan, komplemen, selisih dua himpunan, dan
sifat-sifat operasi pada himpunan).
BAB II
PEMBAHASAN
RELASI DAN OPERASI HIMPUNAN
A.
DIAGRAM VENN EULER
Contoh:
Misalkan
= {1,2,3,4,5,6,7,8}, A= {1,2,3,5} dan B =
{2,5,6,8}
|
7
|
1 2 8
3 5 4 6
3 6
Kardinalitas
·
Jumlah elemen di
dalam A disebut cardinal dari Himpunan A
·
Notasi: n (A)
atau A
B.
HIMPUNAN BAGIAN
Himpunan
A dikatakan himpunan bagian (subset) dari suatu himpunan katakanlah B jika
setiap anggota A merupakan anggota dari himpunan B, biasanya dinotasikan dengan
A Ì B dibaca (A himpunan
bagian atau subset dari B).
Contoh:
1. M = Himpunan bilangan ganjil positif adalah himpunan
bagian dari N = Himpunan bilangan bulat positif, karena semua anggota M menjadi
anggota di N, dapat ditulis M Ì N
2. Diketahui S = {2,3,5,7,9}
dan T = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, karena semua anggota S ada di T maka S Ì T
2 3
5
7 9 A Ì
B
6 8
10
C.
KESAMAAN HIMPUNAN
Himpunan
A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota A
merupakan anggota dari himpunan B dan setiap anggota B merupakan anggota dari
himpunan A atau A Ì B dan B Ì A biasanya ditulis dengan
A = B dibaca (A himpunan bagian atau subset dari B).
Contoh:
1. A= {1,2,3,4,5} dan B = {3,4,5,2,1}, maka himpunan A
= himpunan B atau A = B, maka {1,2,3,4,5} = {3,4,5,2,1}, karena setiap anggota
A juga menjadi anggota B dan setiap anggota B juga menjadi anggota A.
2. Diketahui S = {x/x-2x-3=0} dan T= {3,-1,1}, serta Q=
{-1,3} karena semua anggota S=T=Q
3. Jika A = {0,1}
dan B= {x
x (x-1) = 0}, maka A=B
4. Jika A ={3,5,8,5}
dan B= {5,3,8}, maka A = B
Catatan:
-
A =B Jika
dan hanya jika setiap elemen A merupakan
elemen B dan sebaliknya setiap elemen B
merupakan elemen A.
-
A=B
Jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari
A. Jika tidak demikian, maka A
B.
-
Notasi: A = B
A Ì B dan B Ì A.
D.
HIMPUNAN BERPOTONGAN
Himpunan
A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada anggota A yang menjadi
anggota dari B.
1. A = {1,2,3,4,5,} dan B= {0,5,6,7,8}, maka himpunan A
dan himpunan B berpotongan, karena ada anggota A menjadi anggota B yakni 5.
2. Diketahui D = {x/x2+3x+2=0}dan E = {x/x2-x-6=0}karena
nilai D={-1,-2} dan E = {-2,3}, Jadi ada anggota D Menjadi anggota E yakni -2,
maka D berpotongan dengan E.
Dalam
diagram Venn untuk contoh:
1 0
3 5 6 A
Berpotongan B
7 8
2 3
Catatan:
-
Dibeberapa buku
himpunan yang berpotongan juga disebut dengan himpunan bersekutu.
E.
HIMPUNAN LEPAS
Diketahui
dua Himpunan A dan B lepas jika dan hanya jika kedua himpunan tersebut tidak
ada anggota keduanya sama, A dan B lepas biasanya ditulis (A//B). Contoh:
1. X = himpunan bilangan bulat positif dan Y = himpunan
bilangan bulat negative, karena anggota X tidak ada yang menjadi anggota di Y
maka X dan Y dikatakan Lepas (X//Y).
2. Diketahui D = {1,2,3,4} dan E = {6,7,8,9} karena
anggota D tidak ada yang menjadi anggota E, maka D lepas dengan E atau (D//E).
1 6
2
7 8
3 9 A//B
4
Catatan:
-
Pada beberapa
buku himpunan yang lepas disebut dengan himpunan disjoint dan dinotasikan dengan (A//B).
F.
OPERASI PADA HIMPUNAN
1.
Gabungan
Gabungan (union)
dua buah himpunan A dan B merupakan himpunan semua anggota A dan semua anggota
B, biasanya ditulis dengan (A
B) dibaca A gabungan B. Secara matematis dapat
juga ditulis menjadi:
A
B = {x
x
A atau x
B}
Contoh:
a.
Jika A = {2,5,8}
dan B = {7,5,22}, maka A
B = {2,5,7,8,22}
b.
Jika X = {0} dan Y = himpunan bilangan asli, maka X
U Y = himpunan bilangan cacah dalam diagram Venn dapat ditulis sebagaiamana yang
diarsir dibawah ini.
Catatan:
a.
Jika A U B dari
B U A adalah himpunan yang sama, maka dapat ditulis menjadi: A U B = B U A.
b.
Himpunan A dan B
merupakan himpunan bagian dari A U B dan ditulis dengan A Ì (AUB) dan B Ì (AUB).
2.
Irisan
Irisan (intersection) dua buah himpunan A dan B merupakan himpunan yang
anggota-anggotanya adalah anggota A dan anggota B, Biasanya ditulis dengan (A
B) dibaca A irisan B. Secara matematis dapat
juga ditulis menjadi:
A
B = {x
x
A dan
x
B}
Contoh:
a.
Jika A = {a,i,
u,e,o} dan B = {a, b, c, d, e, f}, Maka A
B = {a,e}.
b.
Jika M = Bilangan asli
kelipatan 2 dan N = Bilangan asli kelipatan 3, maka M
N = {6,12,18,24,….}
c.
Jika A ={3,5,10} dan B= {-2,6}, maka A
B = Ø. Artinya: A//B
A B
Catatan:
1.
Jika A dan B
suatu himpunan maka A
B= B
A
2.
A B dimuat oleh
Himpunan A dan himpunan B, maka (A
B) Ì A dan (A
B) Ì B.
3.
Komponen
Komponen (Complement) suatu himpunan X merupakan himpunan anggota-anggota di
dalam semesta pembicaraan yang bukan anggota X, biasanya ditulis dengan (A’
atau A0). Secara matematis maka dapat juga ditulis menjadi:
A’={x
x
S, x
A}
Contoh:
1.
Diketahui
semesta pembicaraan x = { P, G, M, I} dan Y = {huruf hidup} maka Y’
= {P,G,M}.
2.
Misalkan S = {1,2,3,……,
10},
a.
Jika A = {1,3,7,10}, makas A; =
{2,4,6,8}
b.
Jika A = {x
x/2
P, x
< 10}, maka A’ = {1,3,5,7,10}
|
U
A
|
Catatan:
1.
Koplemen dari himpunan
semester S adalah himpunan Kosong S’ = Ø, sebaliknya Ø’ =
S
2.
Komplemen dari
komplemen himpunan A adalah himpunan itu sendiri (A’) = A.
4.
Selisih
Selisih (Difference) dari dua buah himpunan A dan B merupakan irisan
himpunan A dengan B komplemen, biasanya ditulis dengan A-B = A
B’. Secara matematis maka dapat
ditulis menjadi:
A-B
= {x
x
A dan x
B} = A
B’
Contoh:
1.
Jika A = {1,2,3,…… 10} dan B = {2,4,6,8,10}, maka A-B ={1,3,5,7,10} dan B-A = Ø
2.
X = {Abjad latin} dan Y
= {Huruf hidup}, maka X-Y = {Huruf Konsonan}
Dalam diagram Venn
dapat ditulis sebagaimana yang diarsir berikut ini:
U
A
B
5.
Sifat-sifat Operasi Himpunan
Berdasarkan definisi dari operasi
himpunan, maka ada beberapa sifat operasi pada himpunan yang berlaku adalah
sebagai berikut:
|
1.
Hukum Identitas:
-
A U Ø = A
-
A
|
2.
Hukum
Null/Dominasi:
-
A
-
A U
U = U
|
|
3.
Hukum
Komplemen:
-
A U A’ = U
-
A
|
4.
Hukum idempotent:
-
A U A = A
-
A
|
|
5.
Hukum involusi:
-
(A’)
= A
|
6.
Hukum
Penyerapan (Absorpsi)
-
A U (A
-
A
|
|
7.
Hukum
Komutatif:
-
A U B = B
-
A
|
8.
Hukum Asosiatif:
-
A U (B U C) = (A U B) U C
-
A
|
|
9.
Hukum distributive:
-
A U (B
-
A
|
10. Hukum De Morgan:
-
(A
-
(A U B)’ = A’
|
6.
Pembuktian Pernyataan Perihal Himpunan
Pernyataan himpunan adalah argument yang
menggunakan notasi himpunan. Pernyataan ini dapat berupa:
1.
Kesamaan (identity)
Contoh:
Buktikan “A
(B U
C) = (A
B) U
(A
C)”
2.
Implikasi
Buktikan bahwa “Jika
A
B = Ø dan A
(B U C) maka selalu berlaku bahwa A
C”.
7.
Pembuktian Dengan Menggunakan Diagram Venn
Contoh:
Misalkan
A, B dan C adalah himpunan.
Buktikan
A
(B U C) = (A
B) U (A
C)
dengan diagram Venn.
A B A B
A
(B U C) (A
B) U (A
C)
Kedua diagram Venn memberikan area
arsiran yang sama. Terbukti bahwa: A
(B U C) = (A
B) U (A
C) diagram
Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya.
Metode ini mengilustrasikan ketimbang membuktikan fakta. Diagram Venn tidak
dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
8.
Pembuktian dengan Menggunakan Tabel Keanggotaan
Contoh:
Misalkan
A, B dan C adalah himpunan.
Buktikan
bahwa A
(BUC) = (A
B) U (A
C)
|
A
|
B
|
C
|
B U C
|
A
|
A
|
A
|
(A
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Karena kolom A
(B U C) dan kolom (A
B) U (A
C) sama, maka
terbukti bahwa A
(B U C) = (A
B) U (A
C).
9.
Pembuktian dengan Menggunakan Aljabar Himpunan
Contoh:
Misalkan A dan
B himpunan. Buktikan bahwa (A
B) U (A
B’)=
A
Bukti:
(A
B) U (A
B’) =
A
(B U B’) (Hukum
Operasi Selisih)
=A
U (Hukum Komplemen)
=A (Hukum Identitas)
Contoh:
Misalkan
A dan B himpunan. Buktikan bahwa AU
(B-A)= AUB
Bukti:
AU (B-A) =
AU(B
A’) (Definisi Operasi Selisih)
= (AUB)
(AUA’) (Hukum Distributive)
= (AUB)
U (Hukum Komplemen)
= AUB (Hukum
Identitas).
10.
Pembuktian dengan Menggunakan Definisi
Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan
himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang terbentuk
implikasi. Biasanya, di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan
bagian (
atau
).
Contoh:
Misalkan A dan
B himpunan. Jika A
B=
dan A
(B U C),
maka A
C. Buktikan!
Bukti:
1.
Dari definisi himpunan
bagian, P
Q jika dan hanya jika setiap x P juga
Q. Misalkan x
A. Karena A
(B U
C), dari definisi himpunan bagian, x juga
(B U
C).
Dari definisi operasi
gabungan (U), x
(B U
C) berarti x
B atau x
C.
2.
Karena x
A dan A
B=
, Maka x
B
Dari (1) dan (2), x
C harus benar. Karena
x
A juga berlaku x
C, maka dapat disimpulkan A
C.
BAB III
KESIMPULAN
Dari pembahasan makalah diatas, maka dapat kami
simpulkan bahwa Untuk menggambarkan relasi antara dua buah himpunan secara
sederhana dapat menggunakan diagram Venn-Euler yang umumnya kita kenal dengan
sebutan Diagram Ven. Gagasan ini dikemukakan oleh Leonhard Euler (1707-1783)
yang dimulai dengan menggunakan lingkaran untuk
mewakili himpunan, selanjutnya dikembangkan oleh John Venn.
Sedangkan
Kesamaan Himpulan Jika, Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan
hanya jika setiap anggota A merupakan anggota dari himpunan B dan setiap
anggota B merupakan anggota dari himpunan A atau A Ì B dan B Ì A biasanya ditulis dengan
A = B dibaca (A himpunan bagian atau subset dari B).
DAFTAR PUSTAKA
Theresia, 1992. Pengantar Dasar Matematika Logika dan Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga.
Yunus,
Muhammad. 2007. Logika: Suatu Pengantar. Yogyakarta:
Graha Ilmu.
0 komentar:
Post a Comment